题目内容
15．设z是虚数，ω=z+$\frac{1}{z}$是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值；
（2）求z的实部的取值范围．
分析 （1）根据复数的模长公式即可求|z|的值；
（2）根据ω的取值范围即可求z的实部的取值范围．
解答 解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0），
则ω=z+$\frac{1}{z}$=a+bi+$\frac{1}{a+bi}$=（a+$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）+（b-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）i，
∵ω=z+$\frac{1}{z}$是实数，
∴b-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，∵b≠0，
∴$\frac{1}{{a}^{2}+{b}^{2}}=1$，即a2+b2=1，则|z|=1．
（2）∵a2+b2=1，∴ω=2a，
由-1＜ω＜2得-1＜2a＜2，得-$\frac{1}{2}$＜ω＜1．
点评 本题主要考查复数的基本运算和复数的有关概念，比较基础．
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