Question

8．已知函数f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，若f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，a=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间．
（2）由题意可解得：sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围0$＜A＜\frac{π}{2}$，解得A的值．由余弦定理可得：3≥bc，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵f（A）=$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，解得：sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴解得：2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，即A=$\frac{π}{3}$．
∴由余弦定理可得：3=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}×3$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．