Question

19．若x∈[$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]，则f（x）=$\frac{\sqrt{3}cosxsin（x-\frac{π}{6}）}{sin2x}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4tanx}$，由x∈[$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]和不等式的性质可得．

解答 解：化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}cosxsin（x-\frac{π}{6}）}{sin2x}$
=$\frac{\sqrt{3}cosxsin（x-\frac{π}{6}）}{2sinxcosx}$=$\frac{\sqrt{3}sin（x-\frac{π}{6}）}{2sinx}$
=$\frac{\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx）}{2sinx}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4tanx}$，
∵x∈[$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]，∴tanx∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$]，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4tanx}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]，∴-$\frac{\sqrt{3}}{4tanx}$∈[-$\frac{3}{4}$，-$\frac{1}{4}$]，
∴$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4tanx}$∈[0，$\frac{1}{2}$]
故选：A．

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的化简和不等式的性质，属基础题．