Question

18．已知一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面的位置关系为平行、相交或垂直．

Answer 1

分析 两种情况分析，一是三点在平面β的同侧，则平面图形的边的关系来判断，二是三点在平面的异侧，作图即可．

解答 解：不妨设平面α上有不共线的三个点A、B、C到平面β的距离都相等，
当三点在平面β的同侧时，由点A，B，C到平面β的距离相等，
设三点在β上的射影分别为 D，E，F；
则AD∥CF∥BE，且AD=CF=BE，
则四边形ABED，BCFE，CADF均为平行四边形
于是就有AB∥DE，BC∥EF，
∵平面α与平面β有两相交直线分别平行，
所以α∥β
当三点在平面β的异侧时，
当α与β的交线经过三角形ABC的中位线时，
则AB与平面β平行，
则AD∥CF∥BE，且AD=CF=BE，
此时两个平面α与平面β相交
特殊的，当D，E，F三点共线时，
平面α与平面β垂直
故答案为：平行、相交或垂直．

点评 本题主要考查分类讨论和空间位置关系可用作图来说明问题．