题目内容
17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（2）产品的产量与相应的生产能耗之间的关系是否具有线性相关性？若具有，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\hat y$=bx+a；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤． 试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
计算第（2）（3）问时可能会用到的参考信息：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5参考公式：回归直线方程：$\widehaty=\widehatbx+\widehata$
线性回归方程中a，b的估计值$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，$\widehat{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{（\overline x）}^2}}}}$
参考公式：其中，a=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$ $\hat a=\bar y-b\bar x$．
分析 （1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（2）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（3）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，即可估计生产100吨甲产品的生产能耗
解答 
解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．
（2）由对照数据，计算得$\sum _{i=1}^{4}$xi2=86，$\sum _{i=1}^{4}$xiyi=66.5，$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴回归方程的系数为$\widehat{b}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×{4.5}^{2}}$=0.7，$\widehat{a}=\overline{y}-b\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求线性回归方程为y=0.7x+0.35
（3）由（2）求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），
由90-70.35=19.65，
∴生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨．
点评 本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．
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