Question

9．已知点P（x，y）是曲线x²+y²-2x=0上的动点．
（1）求3x+$\sqrt{3}y$的取值范围；
（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把圆的方程化为标准方程，再进行三角代换，结合正弦函数的定义域和值域，求得3x+$\sqrt{3}y$=3+2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）的范围．
（2）由题意可得a≥-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$） 恒成立，再结合正弦函数的定义域和值域，求得-1-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$） 的最大值，可得a的范围．

解答 解：（1）由于点P（x，y）是曲线x²+y²-2x=0上的动点，故有（x-1）²+y²=1，
可令x=1+cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π]，
则3x+$\sqrt{3}y$=3+3cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=3+2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=3+2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$），
再根据sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，可得3+2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[3-2$\sqrt{3}$，3+2$\sqrt{3}$]．
（2）若x+y+a≥0恒成立，则a≥-x-y=-1-cosθ-sinθ=-1-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
再根据sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，可得-1-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$]，
故a≥-1+$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查三角代换，圆的一般方程，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．