Question

（本小题满分12分）已知顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴的抛物线上有一点，点到抛物线焦点的距离为1.（1）求该抛物线的方程；（2）设为抛物线上的一个定点，过作抛物线的两条互相垂直的弦,,求证：恒过定点.（3）直线与抛物线交于,两点，在抛物线上是否存在点，使得△为以为斜边的直角三角形.

Answer 1

（1）. （2）见解析；（3）

(1)设抛物线的方程为,则此准线方程为,根据抛物线的定义可知,从而可知p=1，所以抛物线方程为.

(2) 由题意知直线与轴不平行，设所在直线方程为得显然P、Q的纵坐标就是此方程的两个根，然后再由韦达定理可知 根据进而得到 所以 展开整理将韦达定理代入即可得到直线的方程为据此可判定直线PQ一定过定点.
(3)在（2）的基础上可知若存在N点,则点必在直线上，所以，因而点N是直线与抛物线的交点，然后消去y得到关于x的一元二次方程，根据判别式判断此方程组是否有解即可.
（1）由题意可设抛物线的方程为，则由抛物线的定义可得，即，所以抛物线的方程为 .     ……4分
（2）由题意知直线与轴不平行，设所在直线方程为得
其中
 
即 所以


所以直线的方程为
即 
（3）假设
（上，
的解，消去得