Question

14．若实数x₀满足等式f（x）=x，则称x₀是函数f（x）的不动点，现已知函数g（x）=$\sqrt{x-2}$+m，且g（x）恰有两个不等的不动点，则实数m的取值范围是（$\frac{7}{4}$，2]．

Answer 1

分析 若函数g（x）=$\sqrt{x-2}$+m恰有两个不等的不动点，即方程$\sqrt{x-2}$+m=x有两个根，即函数h（x）=x-$\sqrt{x-2}$的图象与直线y=m有两个交点，进而可得答案．

解答 解：若函数g（x）=$\sqrt{x-2}$+m恰有两个不等的不动点，
即方程$\sqrt{x-2}$+m=x有两个根，
即函数h（x）=x-$\sqrt{x-2}$的图象与直线y=m有两个交点，
令h′（x）=$\frac{2\sqrt{x-2}-1}{2\sqrt{x-2}}$=0，则x=$\frac{9}{4}$，
当x∈[2，$\frac{9}{4}$）时，h′（x）＜0，函数h（x）为减函数，
当x∈（$\frac{9}{4}$，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）为增函数，
故当x=$\frac{9}{4}$时，函数h（x）取最小值$\frac{7}{4}$，
又由x=2时，h（2）=2，
故函数h（x）=x-$\sqrt{x-2}$的图象与直线y=m有两个交点时，m∈（$\frac{7}{4}$，2]，
故答案为：（$\frac{7}{4}$，2]

点评 本题考查的知识点是函数的零点与方程的根，本题转化比较困难，属于中档题目．