Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x+2）}$的定义域为A，函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，（-1≤x≤0）的值域为B．
（1）求A∩B；
（2）若C={z|z²-a≤0}，且C∪A=A，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由对数函数的定义域求出A，由指数函数的值域求出B，由此能求出A∩B．
（2）由C={x|-$\sqrt{a}$$≤z≤\sqrt{a}$}，得a≥0，由A={x|x≥-1}，且C∪A=A，得-$\sqrt{a}$≥-1，由此能求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}（x+2）}$的定义域为A，
∴A={x|$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{lo{g}_{2}（x+2）≥0}\end{array}\right.$}={x|x≥-1}，
∵函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，（-1≤x≤0）的值域为B，
∴B={y|0≤y≤2}，
∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0，2]．
∵C={z|z²-a≤0}={x|-$\sqrt{a}$$≤z≤\sqrt{a}$}，∴a≥0，
∵A={x|x≥-1}，且C∪A=A，
∴-$\sqrt{a}$≥-1，∴a≤1，
∴a的取值范围是[0，1]．

点评 本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的定义域和值域的合理运用．