题目内容
已知函数f(x)=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）如图，函数f（x）在[-1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求
| PM |
| PN |
分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）解法一：通过函数为0，求出M，N的坐标，确定P的位置，求出
与
，求出
与
的夹角的余弦．
解法二：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出
与
的夹角的余弦．
解法三：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，在Rt△PAM中，求出cos∠MPA=
，通过二倍角公式求出
与
的夹角的余弦．
（Ⅱ）解法一：通过函数为0，求出M，N的坐标，确定P的位置，求出
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
解法二：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出
| PM |
| PN |
解法三：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，在Rt△PAM中，求出cos∠MPA=
| |PA| |
| |PM| |
| PM |
| PN |
解答：
解：（Ⅰ）∵f(x)=
sinπx+
cosπx
=sin(πx+
)（2分）
∵x∈R∴-1≤sin(πx+
)≤1，
∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1，-1．（4分）
（Ⅱ）解法1：令f(x)=sin(πx+
)=0得πx+
=kπ，k∈Z，
∵x∈[-1，1]∴x=-
或x=
∴M(-
，0)，N(
，0)，（6分）
由sin(πx+
)=1，且x∈[-1，1]得x=
∴P(
，1)，（8分）
∴
=(-
，-1)，
=(
，-1)，（10分）
∴cos＜
，
＞=
=
．（12分）
解法2：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，
由三角函数的性质知|MN|=
T=1，（6分）|PM|=|PN|=
=
，（8分）
由余弦定理得cos＜
，
＞=
（10分）
=
=
．（12分）
解法3：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，
由三角函数的性质知|MN|=
T=1，（6分）|PM|=|PN|=
=
（8分）
在Rt△PAM中，cos∠MPA=
=
=
（10分）
∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos2∠MPA-1=2×(
)2-1=
．（12分）
解：（Ⅰ）∵f(x)=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=sin(πx+
| π |
| 6 |
∵x∈R∴-1≤sin(πx+
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1，-1．（4分）
（Ⅱ）解法1：令f(x)=sin(πx+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∵x∈[-1，1]∴x=-
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 5 |
| 6 |
由sin(πx+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴
| PM |
| 1 |
| 2 |
| PN |
| 1 |
| 2 |
∴cos＜
| PM |
| PN |
| ||||
|
|
| 3 |
| 5 |
解法2：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，
由三角函数的性质知|MN|=
| 1 |
| 2 |
12+(
|
| ||
| 2 |
由余弦定理得cos＜
| PM |
| PN |
| |PM|2+|PN|2-|MN|2 |
| 2|PM|•|PN| |
=
| ||
2×
|
| 3 |
| 5 |
解法3：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，
由三角函数的性质知|MN|=
| 1 |
| 2 |
12+(
|
| ||
| 2 |
在Rt△PAM中，cos∠MPA=
| |PA| |
| |PM| |
| 1 | ||||
|
2
| ||
| 5 |
∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos2∠MPA-1=2×(
2
| ||
| 5 |
| 3 |
| 5 |
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量的夹角的求法，可以通过向量的数量积解决，也可以通过三角形解决，考查计算能力，常考题型．
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