题目内容

【题目】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm容器Ⅱ的两底面对角线的长分别为14cm62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水水深均为12cm现有一根玻璃棒l其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)

(1)将放在容器Ⅰ中的一端置于点A处另一端置于侧棱上,没入水中部分的长度;

(2)将放在容器Ⅱ中的一端置于点E处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.

答案(1)16(2)20.

思路分析(1)转化为直角三角形ACM中,利用相似性质求解AP1(2)转化到三角形EGN中,先利用直角梯形性质求角,再利用正弦定理求角,最后根据直角三角形求高,即为没入水中部分的长度.

【解析】(1)由正棱柱的定义,平面,所以平面平面

记玻璃棒的另一端落在上点处.

因为,所以,从而

如图,与水面的点为,过作P1Q1AC,Q1为垂足,

则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=

答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(5分)

(如果将没入水中部分理解为水面以上部分,则结果为24cm)

(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.

同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1

记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.

过G作GKE1G1,K为垂足,则GK =OO1=32.

因为EG = 14,E1G1= 62,

所以KG1=,从而

因为,所以

中,由正弦定理可得,解得

因为,所以

于是

记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2EG,Q2为垂足,则P2Q2平面EFGH,

故P2Q2=12,从而EP2=

答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(10分)

(如果将没入水中部分理解为水面以上部分,则结果为20cm)

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