Question

【题目】已知f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，g（x）=[f（x）]2+f（x2），
（1）求g（x）的定义域；
（2）求g（x）的最大值以及g（x）取最大值时x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为[1，9]，

要使函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）有意义，必须满足：

可知1≤x≤3，

则g（x）的定义域为[1，3]

（2）解：由f（x）的定义域为[1，9]可得g（x）的定义域为[1，3]，

又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2﹣3，

∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．

∴当x=3时，g（x）有最大值13

【解析】（1）要使函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）有意义，必须满足 ，解不等式即可得到所求定义域；（2）根据f（x）的定义域为[1，9]，先求出g（x）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2﹣3的最大值．
【考点精析】掌握函数的定义域及其求法和函数的最值及其几何意义是解答本题的根本，需要知道求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．