Question

【题目】已知函数f（x）= （x∈R）
（1）用定义证明f（x）是增函数；
（2）若g（x）=f（x）﹣a是奇函数，求g（x）在（﹣∞，a]上的取值集合．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）=2+ ，

设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=2× ＜0，

∴f（x）是增函数

（2）解：∵g（x）=f（x）﹣a是奇函数，

∴g（0）=f（0）﹣a=3﹣a=0，

∴a=3，

∴g（x）= ﹣1，

∵x≤3，∴0＜ ≤

∴﹣1＜g（x）≤

【解析】（1）利用定义证明步骤，即可证明f（x）是增函数；（2）利用g（x）=f（x）﹣a是奇函数，求出a，即可求g（x）在（﹣∞，a]上的取值集合．
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题．