题目内容
7.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是②④(写出所有正确结论的编号).①P(B)=$\frac{2}{5}$;
②P(B|A1)=$\frac{5}{11}$;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件;
⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.
分析 由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,由条件概率公式求出P(B|A1),P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),对照五个命题进行判断找出正确命题,选出正确选项.
解答 解:由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(A1)=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$,P(A2)=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$,P(A3)=$\frac{3}{10}$;
P(B|A1)=$\frac{P({BA}_{1})}{P({A}_{1})}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{5}{11}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{5}{11}$,由此知,②正确;
P(B|A2)=$\frac{4}{11}$,P(B|A3)=$\frac{4}{11}$;
而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{11}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{11}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{4}{11}$=$\frac{9}{22}$.
由此知①③⑤不正确;
A1,A2,A3是两两互斥的事件,由此知④正确;
对照四个命题知②④正确;
故正确的结论为:②④
故答案为:②④
点评 本题考查相互独立事件,解题的关键是理解题设中的各个事件,且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式,条件概率的求法,本题较复杂,正确理解事件的内蕴是解题的突破点.
练习册系列答案
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2.下列命题中正确的是( )
A. | 若p⇒q,则q是p的充分条件 | |
B. | “若a>b,则2a>2b”的否命题为“若a<b,则2a<2b” | |
C. | “?x∈R,x2+x≤1”的否定是“?x∈R,x2+x≥1” | |
D. | “x>0”是“x+$\frac{1}{x}$≥2”的充要条件 |