Question

10．若方程sin2x+$\sqrt{2}$（2-a）sin（x+$\frac{π}{4}$）+7-a=0，在x∈[0，$\frac{π}{2}$]内有两个不同的解，则实数a的取值范围为{2$\sqrt{5}$}∪（6$\sqrt{2}$-4，$\frac{9}{2}$]．

Answer 1

分析 利用三角函数的倍角公式将方程进行化简，利用换元法结合三角函数的弹性后效进行求解即可．

解答 解：由sin2x+$\sqrt{2}$（2-a）sin（x+$\frac{π}{4}$）+7-a=0
得2sinxcosx+$\sqrt{2}$（2-a）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）+7-a=0
即2sinxcosx+（2-a）×（sinx+cosx）+7-a=0
设t=sinx+cosx，则t²=1+2sinxcosx，
即2sinxcosx=t²-1，
则t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
则sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[sin$\frac{π}{4}$，sin$\frac{π}{2}$]，
即sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
则$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，
则1≤t≤$\sqrt{2}$，且对任意的1≤t＜$\sqrt{2}$时，方程t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）都有两个不同的解，
当t=$\sqrt{2}$时，方程t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）只有一个解，
若方程sin2x+$\sqrt{2}$（2-a）sin（x+$\frac{π}{4}$）+7-a=0，在x∈[0，$\frac{π}{2}$]内有两个不同的解，
则等价为方程t²-1+（2-a）t+7-a=0即t²+（2-a）t+6-a=0，
在1≤t＜$\sqrt{2}$时有且只有一个解，
当判别式△=（2-a）²-4（6-a）=0时，a=±2$\sqrt{5}$，
若a=-2$\sqrt{5}$，则方程t²+（2-a）t+6-a=0的解为t=1+$\sqrt{5}$∉[1，$\sqrt{2}$），不满足条件．
若a=2$\sqrt{5}$，则方程t²+（2-a）t+6-a=0的解为t=$\sqrt{5}$-1∈[1，$\sqrt{2}$），满足条件．
当方程t²+（2-a）t+6-a=0有两个不等实根时，由题意得有且仅有一个根位于[1，$\sqrt{2}$）内，
∴[1²+（2-a）+6-a][（$\sqrt{2}$）²+（2-a）$•\sqrt{2}$+6-a]≤0，且[（$\sqrt{2}$）²+（2-a）$•\sqrt{2}$+6-a]≠0，
即6$\sqrt{2}$-4＜a≤$\frac{9}{2}$，
综上则实数a的取值范围为{2$\sqrt{5}$}∪（6$\sqrt{2}$-4，$\frac{9}{2}$]，
故答案为：{2$\sqrt{5}$}∪（6$\sqrt{2}$-4，$\frac{9}{2}$]

点评 本题主要考查函数与方程的综合应用，利用三角函数的倍角公式将函数进行化简，利用换元法转化为一元二次函数，是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．