Question

3．当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx的值域为（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-$\frac{1}{2}$，1]
• C． [-2，2]
• D． [-1，2]

Answer 1

分析 利用辅助角公式将函数进行化简即可得到结论．

解答 解：f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故$-\frac{1}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
则-1≤2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤2，
即函数的值域为[-1，2]，
故选：D

点评 本题主要考查三角函数值域的求解，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式将函数进行化简是解决本题的关键．