Question

12．如图所示，已知矩形ABCD与ABEF全等，D-AB-E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成角为θ，且cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，则AB与BC的长度之比为（　　）

• A． 1：1
• B． $\sqrt{2}$：1
• C． $\sqrt{2}$：2
• D． 1：2

Answer 1

分析 以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2a，BC=2b，利用向量法能求出AB与BC的长度之比．

解答 解：以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2a，BC=2b，
则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b），
$\overrightarrow{FM}$=（-2b，a，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-2a，2b），
∵FM与BD所成角为θ，且cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{FM}，\overrightarrow{BD}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{FM}|•|\overrightarrow{BD}|}$|=|$\frac{-2{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+4{b}^{2}}•\sqrt{4{a}^{2}+4{b}^{2}}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
整理，得5a²b²+4b⁴-26a⁴=0，
∴$4×（\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}）^{2}$+5×$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$-26=0，解得$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=2，或$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=-$\frac{13}{4}$（舍），
∴$a=\sqrt{2}b$，
∴AB与BC的长度之比为：2a：2b=a：b=$\sqrt{2}$：1．
故选：B．

点评 本题考查两线段长的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．