Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC、BD的交点，E，F分别是AB与AD的中点．
（1）求证：直线OD₁与直线A₁C₁垂直；
（2）求异面直线EF与A₁C₁所成角的大小；
（3）求二面角B-AC-D₁的大小．

Answer 1

分析：（1）根据A₁C₁∥AC，可知AC与OD₁所成的角就是所求的角，然后根据AC⊥平面D₁DO，从而直线OD₁与直线A₁C₁垂直；
（2）根据A₁C₁∥AC，可知AC与EF所成的角就是所求的角，又E，F分别是AB，AD的中点，从而求出EF与A₁C₁所成的角；
（3）根据二面角平面角的定义可知∠D₁OB是二面角B-AC-D₁的平面角，然后在三角形D₁OB中用余弦定理求出此角的余弦值即可求出此角．

解答：解：（1）∵A₁C₁∥AC，∴AC与OD₁所成的角就是所求的角； …（1分）
∵AC⊥BD，AC⊥DD₁，∴AC⊥平面D₁DO…（3分）
∴AC⊥OD₁，即OD₁与AC所成的角为90°…（5分）
∴直线OD₁与直线A₁C₁垂直；
（2）∵A₁C₁∥AC，∴AC与EF所成的角就是所求的角；      …（6分）
又E，F分别是AB，AD的中点，∴AC⊥EF…（8分）
则EF与A₁C₁所成的角为90°…（10分）
（3）∵BO⊥AC，D₁O⊥AC，∴∠D₁OB是二面角B-AC-D₁的平面角…（12分）
在△D₁OB中，BO=

2

2

a，OD1=

3 2

a，BD1=

3

a，
由余弦定理得：cos∠D1OB=

1 2 a2+ 3 2 a2-3a2

2× 2 2 a× 3 2 a

=-

3

3

…（15分）
因此，所求二面角B-AC-D₁的大小为π-arccos

3

3

…（16分）

点评：本题主要考查了异面直线所成角的度量以及线面垂直的判定，同时考查了二面角平面角的度量，属于中档题．