题目内容
20．（1）证明函数f（x）=$\sqrt{x+1}$在定义域上是单调增函数；（2）用定义判断f（x）=1+$\frac{1}{x-2}$在区间（2，+∞）上的单调性．
分析 根据增函数的定义，设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，通过作差证明f（x1）＜f（x2）即可．
解答 证明：（1）∵x+1≥0，∴x≥-1，∴函数的定义域是[-1，+∞），
设x1，x2∈[-1，+∞），且x1＜x2，则：
f（x1）-f（x2）=$\sqrt{{x}_{1}+1}$-$\sqrt{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}+1}+\sqrt{{x}_{2}+1}}$；
∵x1，x2∈[-1，+∞），且x1＜x2；
∴x1-x2＜0，$\sqrt{{x}_{1}+1}$+$\sqrt{{x}_{2}+1}$＞0；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．
（2）设x1＞x2＞2，
∴f（x1）-f（x2）=$\frac{1}{{x}_{1}-2}$-$\frac{1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{（x}_{1}-2）{（x}_{2}-2）}$，
∵x1-x2＞2，∴x1-2＞0，x2-2＞0，x2-x1＜0，
∴函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数．
点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明函数为增函数的方法与过程．
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