Question

8．已知直线1：y=kx+2与椭圆C：x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1交于A、B两点，且k_OA+k_OB=3，k=$-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立化为（2+k²）x²+4kx+2=0．△＞0，解得k²＞2．利用斜率计算公式、根与系数的关系代入k_OA+k_OB=3，即可解出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化为（2+k²）x²+4kx+2=0．
△=16k²-8（2+k²）=8k²-16＞0，解得k²＞2．
∴x₁+x₂=$\frac{-4k}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2}{2+{k}^{2}}$．
∵k_OA+k_OB=3，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}+2}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+2}{{x}_{2}}$=2k+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+2×$\frac{\frac{-4k}{2+{k}^{2}}}{\frac{2}{1+{k}^{2}}}$=3，
化为：-2k=3，
解得k=-$\frac{3}{2}$，满足△＞0．
故答案为：-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．