题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数,
。
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与直线
平行,求
的值;
(Ⅱ)若,问函数
有无极值点?若有,请求出极值点的个数;若没有,请说明理由。
【答案】(Ⅰ)a=1;(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得f′(x)=aex+(ax1)ex+a,利用导函数研究函数的切线方程确定实数a的值即可;
(Ⅱ)当时,
,∴
,
设g(x)=ex(x1)+1,则g′(x)=xex,据此可确定的符号,从而确定函数
有无极值点.
(Ⅰ)由题意得f(x)=(ax1)ex+ax+1,
∴f′(x)=aex+(ax1)ex+a,
∵在点(0,f(0))处的切线与直线xy+1=0平行,
∴切线的斜率为f′(0)=a1+a=1,解得a=1.
(Ⅱ)当时,
,
∴,
设g(x)=ex(x1)+1,则g′(x)=ex(x1)+ex=xex,
则函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
函数,
据此可得恒成立,
函数在定义域内单调递增,函数不存在极值点.
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