Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，对任意的恒成立，，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对 分类讨论导函数的符号，在 时由导函数在不同区间内的符号得到原函数的单调性，从而求得函数的极值点；
（Ⅱ）由函数 在 处取得极值求得，代入函数解析式，进一步代入 ，分离参数后构造函数，利用导数求其最小值后得答案．

试题解析：

（1）.

当时，在上恒成立，函数在单调递减，所以在上没有极值点；

当时，由得，由得

所以在上递减，在递增，即在处有极小值.

综上：当时，在上没有极值点；

当时，在上有一个极值点.

（2）因为函数在处取得极值，所以.

因为，令，可得在上递减，在上递增.

∴ ∴.