题目内容

20.若{an}是等比数列,a2=2,a5=$\frac{1}{4}$.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求和:a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*).

分析 (Ⅰ)通过q3=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$及题意,可得公比和首项,进而可得结论;
(Ⅱ)通过(Ⅰ)可知anan+1=$(\frac{1}{2})^{2n-5}$,进而可得数列{anan+1}是以8为首项,$\frac{1}{4}$为公比的等比数列,计算即得结论.

解答 解:(Ⅰ)根据题意可得q3=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$,
∴q=$\frac{1}{2}$,a1=$\frac{{a}_{2}}{q}$=4,
∴数列{an}的通项为:an=4•$(\frac{1}{2})^{n-1}$=$(\frac{1}{2})^{n-3}$;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知anan+1=$(\frac{1}{2})^{n-3}$•$(\frac{1}{2})^{n-2}$=$(\frac{1}{2})^{2n-5}$,
又∵a1a2=$(\frac{1}{2})^{2-5}$=8,
∴数列{anan+1}是以8为首项,$\frac{1}{4}$为公比的等比数列,
∴a1a2+a2a3+…+anan+1=8•$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$(1-$\frac{1}{{4}^{n}}$).

点评 本题考查求等比数列的通项及求和,注意解题方法的积累,属于中档题.

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