题目内容
17.(1)解不等式x2-2x+3≤0;(2)已知不等式(k-1)x2+(1-k)x+1>0的解集为R,求实数k的取值范围.
分析 (1)根据判别式△<0判断不等式x2-2x+3≤0的解集为∅;
(2)讨论k的取值范围,求出该不等式解集为R时实数k的取值范围即可.
解答 解:(1)在不等式x2-2x+3≤0中,
△=(-2)2-4×1×3=-8<0,
∴该不等式对应的方程无实数根,
∴该不等式的解集为∅;
(2)∵不等式(k-1)x2+(1-k)x+1>0的解集为R,
∴当k-1=0,即k=1,不等式化为1>0恒成立;
当k-1≠0,即k≠1时,应满足$\left\{\begin{array}{l}{k-1>0}\\{△<0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{k>1}\\{{(1-k)}^{2}-4(k-1)<0}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k>1}\\{1<k<5}\end{array}\right.$,
即1<k<5;
综上,实数k的取值范围是1≤k<5.
点评 本题考查了不等式的解法与应用问题,也考查了不等式恒成立问题,是基础题目.
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