Question

12．若函数f（x）=x-[x]，（其中[x]为不超过x的最大整数），g（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$（x-1），f（x）-g（x）=1的解的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x），得到函数的周期是1，作出函数y=f（x）和y=g（x）+1的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：当0＜x＜1时，[x]=0，则f（x）=x-[x]=x
当1≤x＜2时，[x]=1，则f（x）=x-[x]=x-1，
当2≤x＜3时，[x]=2，则f（x）=x-[x]=x-2，
当3≤x＜4时，[x]=3，则f（x）=x-[x]=x-3，
当4≤x＜5时，[x]=4，则f（x）=x-[x]=x-4，
当5≤x＜6时，[x]=5，则f（x）=x-[x]=x-5，
此时f（x）∈[0，1），
而g（x）=-log₄（x-1）+1≤0，
即当n≤x＜n+1，n≥6时，[x]=n，则f（x）=x-[x]=x-n∈[0，1），
而g（x）=-log₄（x-1）+1＜0，
由h（x）=f（x）-g（x）=1得f（x）=g（x）+1，
分别作出函数y=f（x）和y=g（x）+1的图象如图：
则两个函数图象有4个交点，
故选：C．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，根据[x]的定义，求出函数f（x）的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．