Question

【题目】如图，椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A、B两点，直线n：x＝4与x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足BM∥x轴．

(1)当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)证明：直线AM经过线段EF的中点．

Answer 1

【答案】(1) 直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－；(2)见证明

【解析】

（1）直线l与x轴垂直，可得直线l的方程，从而求解出点的坐标，由BM∥x轴可得点坐标，从而得出直线AM的方程；

（2）要证直线AM经过线段EF的中点，即证A，N，M三点共线，即证，设出两点，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理从而得证.

解：(1)由c＝ ＝1，

∴F(1，0)，

∵直线l与x轴垂直，

∴x＝1，

由，

解得：

故当点坐标为，

则点坐标为，

此时直线AM的斜率为，

直线AM的方程为，

∴直线AM的方程为y＝－x＋；

当点坐标为，

则点坐标为，

此时直线AM的斜率为，

直线AM的方程为，

∴直线AM的方程为y＝x－；

故直线AM的方程为y＝－x＋或y＝x－；

(2)当直线方程为时，

直线BM与x轴重合，不满足题意；

故可设直线l的方程为x＝my＋1，

由，

得3(my＋1)2＋4y2＝12，

(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由韦达定理可得，

y1＋y2＝，y1y2＝

∵EF的中点N ，点M(4，y2)，

∴ ＝

×y2－y1＝my1y2－ (y1＋y2)＝－×＝0.

所以，

故A，N，M三点共线，

所以直线AM经过线段EF的中点.