Question

【题目】已知椭圆离心率为，点P(0,1)在短轴CD上，且.

（I）求椭圆E的方程；

（II）过点P的直线l与椭圆E交于A,B两点.若，求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）y=x+1.

【解析】

（1）通过椭圆的离心率和向量的数量积的坐标表示，计算即得，，进而得结论；（2）设直线l为，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可求斜率k，进而得到所求直线方程。

（1）由题意，e=，得a=

又C(0,b)，D(0,-b). ∴=(b-1)(-b-1)=-1， ∴b2=2

∴a=2, 所以椭圆E的方程为.

（2）当直线l的斜率不存在时， ，，，

不符合题意，不存在这样的直线.

当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1. A(x1,y1) , B(x2,y2).

联立方程，整理得(1+2k2)x2+4kx-2=0,

由韦达定理得x1+x2=，x1x2=，

由得，(x2,y2-1)= (-x1,1-y1), ∴x2=-x1,

∴x1 =，x12 =， 解得k2=， ∴k=，

所以直线l的方程为y=x+1.