题目内容
【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形,且PA=AD=1,AB=2,∠PAB=120°,∠PBC=90°.
(I)平面PAD与平面PAB是否垂直?并说明理由;
(II)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的余弦值.
【答案】(I)平面
平面
; (Ⅱ) cos∠PEF=
.
【解析】
(1)说明,而
,
,即可说明平面PAD与平面PAB垂直;(2)以点A为坐标原点,AB所在的直线为y轴建立空间直角坐标系,求出
,
,
,进而求出
,
,计算平面PCD的法向量为
,平面ABCD的一个法向量为
,代入夹角计算公式即可。
(I)平面
平面
;
证明:由题意得且
又,则
则平面
,
故平面平面
(Ⅱ)以点A为坐标原点,AB所在的直线为y轴建立
空间直角坐标系如右图示,则,
,
可得,
设平面PCD的法向量为,
则, 令x=2得,
又平面ABCD的一个法向量为,
设平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小为θ,显然为锐角θ,
∴cosθ==
.
方法二:过点P作BA的垂线交BA的延长线于点F,过点F 作EF⊥AB,
交CD的延长线于点D.
则∠PEF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角
∵PA=1, ∠PAB=120°, ∴PF=,
又EF=AD=PA= 1,∴PE=,
∴cos∠PEF=.
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