题目内容
【题目】设定义在实数集上的函数
,
恒不为0,若存在不等于1的正常数
,对于任意实数
,等式
恒成立,则称函数
为
函数.
(1)若函数为
函数,求出
的值;
(2)设,其中
为自然对数的底数,函数
.
①比较与
的大小;
②判断函数是否为
函数,若是,请证明;若不是,试说明理由.
【答案】(1)或
;(2)①
②
是
函数,证明见解析.
【解析】
(1)根据题意,列出方程,即可求解参数值.
(2)①根据函数单调性定义,比较与
的大小关系,进而比较
与
的大小
②根据题意,列出方程,证明方程有解,令
,判断
在
上存在零点,即可证明
是
函数.
(1)因为函数为
函数.
所以对任意实数
都成立,即
,即
,
所以或
(2)①因为,所以
,即
又因为在R上为增函数,所以
②若是
函数.则存在不等于1的正常数
,
使等式对一切实数
恒成立,即关于
的方程
有解,
令,则函数
在
上的图像是一条不间断的曲线,
据零点存在性定理,可知关于的方程
在
上有解,
从而是
函数.
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