Question

20．实数a取怎样的值时，关于x的方程$\frac{lg\sqrt{{x}^{2}-2}}{lg（x-a）}$=1有解？并求此时的解．

Answer 1

分析 方程$\frac{lg\sqrt{{x}^{2}-2}}{lg（x-a）}$=1即为lg$\sqrt{{x}^{2}-2}$=lg（x-a），（x≠$±\sqrt{3}$），即有$\sqrt{{x}^{2}-2}$=x-a，（x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，且x≠±$\sqrt{3}$），分别画出曲线y=$\sqrt{{x}^{2}-2}$和直线y=x-a，通过图象观察和直线平移，即可得到a的范围和方程的解．

解答 解：方程$\frac{lg\sqrt{{x}^{2}-2}}{lg（x-a）}$=1即为
lg$\sqrt{{x}^{2}-2}$=lg（x-a），（x≠$±\sqrt{3}$），
即有$\sqrt{{x}^{2}-2}$=x-a，（x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，且x≠±$\sqrt{3}$）
分别作出曲线y=$\sqrt{{x}^{2}-2}$和直线y=x-a，
由于双曲线x²-y²=2的渐近线为y=±x，
由直线y=x-a与渐近线平行，则直线y=x-a与曲线最多一个交点．
通过直线的平移，可得当a＜-$\sqrt{2}$且a≠-$\sqrt{3}$-1，
或0＜a＜$\sqrt{2}$时，曲线y=$\sqrt{{x}^{2}-2}$和直线y=x-a有一个交点，
由$\sqrt{{x}^{2}-2}$=x-a，平方可解得x=$\frac{2+{a}^{2}}{2a}$．
综上可得，当当a＜-$\sqrt{2}$且a≠-$\sqrt{3}$-1，或0＜a＜$\sqrt{2}$时，
方程有解，且为x=$\frac{2+{a}^{2}}{2a}$．

点评 本题考查函数和方程的关系，直线和曲线的位置关系，掌握双曲线的渐近线与双曲线的关系是解决本题的关键．