Question

10．f（x）=2x+sinx为定义在（-1，1）上的函数，则不等式f（1-a）+f（1-2a）＜0的解集是（$\frac{2}{3}$，1）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义，证出f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数．再由导数恒大于0，得到f（x）是定义在（-1，1）上的增函数．由此将不等式f（1-a）+f（1-2a）＜0等价转化为$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜2a-1＜1}\\{1-a＜2a-1}\end{array}\right.$，解之即可得到原不等式的解集．

解答 解：∵函数解析式为f（x）=2x+sinx，
∴f（-x）=-2x+sin（-x）=-（2x+sinx）=-f（x），
因此函数是定义在（-1，1）上的奇函数．
又∵函数f（x）导数f′（x）=2+cosx＞0恒成立，
∴函数f（x）是定义在（-1，1）上的增函数．
因此不等式f（1-a）+f（1-2a）＜0，
即f （1-a）＜-f （1-2a）=f（2a-1）
可得$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜2a-1＜1}\\{1-a＜2a-1}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{0＜a＜1}\\{a＞\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
即有$\frac{2}{3}$＜a＜1．
∴原不等式的解集为（$\frac{2}{3}$，1）．
故答案为：（$\frac{2}{3}$，1）．

点评 本题给出函数f（x）=2x+sinx，要求我们利用单调性和奇偶性解关于x的不等式f （1-a）+f （1-2a）＜0，着重考查了函数的基本性质、利用导数研究函数的单调性和一无二次不等式的解法等知识，属于中档题．