题目内容
【题目】如图，在南北方向有一条公路，一半径为100
的圆形广场（圆心为
）与此公路所在直线
相切于点
，点
为北半圆弧（弧
）上的一点，过点作直线的垂线，垂足为
，计划在
内（图中阴影部分）进行绿化，设的面积为
（单位：
），
（1）设
，将表示为
的函数；
（2）确定点的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．
【答案】（1）
，
.
（2）当点p距公路边界
为
时，绿化面积最大，
.
【解析】
（1）由三角函数的定义可用
表示AQ，PQ，从而代入三角形面积公式，得答案；
（2）对（1）问中函数求导，利用导数求得最大值，得答案.
（1）由题可知
，
，
，.
则
的面积
，.
（2）
令
，则
或
（舍），此时
．
当
时，
，
，关于为增函数．
当
时，
，
，关于为减函数．
所以当时，
，
此时
．
故：当点p距公路边界为时，绿化面积最大，.
【题目】某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量
（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；
（2）若水的年入流量与其蕴含的能量
（单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：
年入流量 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
蕴含的能量 | 1.5 | 2.5 | 3.5 | 5 | 7.5 |
用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；（回归方程系数用分数表示）
（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量 |
|
|
|
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
附：回归方程系数公式：
，
.
