Question

12．在锐角三角形 A BC中，tanA=$\frac{1}{2}$，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则$\overrightarrow{{D}{E}}$•$\overrightarrow{DF}$=-$\frac{16}{15}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合面积求出cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DF}|=\frac{8\sqrt{5}}{15}$，然后代入数量积公式得答案．

解答 解：如图，

∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{DE}|=2$，$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{DF}|=4$，
可得$|\overrightarrow{DE}|=\frac{4}{|\overrightarrow{AB}|}$，$|\overrightarrow{DF}|=\frac{8}{|\overrightarrow{AC}|}$，∴$|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DF}|=\frac{32}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|}$．
又tanA=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{sinA}{cosA}=\frac{1}{2}$，联立sin²A+cos²A=1，得$sinA=\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
由$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|sinA=6$，得$|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|=12\sqrt{5}$．
则$|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DF}|=\frac{8\sqrt{5}}{15}$．
∴$\overrightarrow{{D}{E}}$•$\overrightarrow{DF}$=$|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{DF}|cos＜\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DF}＞$=$\frac{8\sqrt{5}}{15}×（-\frac{2\sqrt{5}}{5}）=-\frac{16}{15}$．
故答案为：$-\frac{16}{15}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．