题目内容
已知函数
f(x)=sin(2ωx-)+b,且该函数图象的对称中心和对称轴的最小距离为
,当
x∈[0,]时,f(x)的最大值为
.
(1)求f(x)的解析式.
(2)画出f(x)在长度为一个周期内的简图(直接画图,不用列表).
(3)分步说明该函数的图象是由正弦曲线经过怎样的变化得到的.
分析:(1)由函数图象的对称中心和对称轴的最小距离为
,得周期,从而可得ω,由最大值可得b;
(2)用五点法可作得函数图象;
(3)根据图象的变化规律可逐步得到;
解答:
解:(1)∵该函数图象的对称中心和对称轴的最小距离为
,
∴最小正周期T=π,则ω=1,
当
x∈[0,]时,2x-
∈[-
,
],
∴f(x)
max=
×+b=
,解得b=1,
∴f(x)=
sin(2x-)+1;
(2)函数f(x)的图象如右:
(3)把函数y=sinx的图象向右平移
个单位得到y=sin(x-
)的图象,纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
倍,
得到y=sin(2x-
)的图象,横坐标不变,纵坐标伸长为原来的
倍,得到y=
sin(x-
)的图象,
再把图象上所有点向上平移1个单位,得到f(x)=
sin(2x-)+1的图象.
点评:本题考查y=Asin(ωx+φ)+b的图象作法、图象变换及函数解析式的求解,属中档题.
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