Question

已知定点A(a，O)( a >0)，B为x轴负半轴上的动点．以AB为边作菱形ABCD，使其两对角线的交点恰好落在y轴上．
(I)求动点D的轨迹E的方程；
(Ⅱ)过点A作直线l与轨迹E交于P、Q两点，设点R (- a，0)，问当l绕点A转动时，∠PRQ是否可以为钝角?请给出结论，并加以证明．

Answer 1

详见解析

解法一：(Ⅰ)设D(x，y)，∵A(a，0)，由ABCD为菱形
          且AC、BD的交点在y轴上，
　　　∴B、C两点坐标为(-x，0)、(-a，y)．
由AC⊥BD得
·＝（2x，y）·(2a，-y)
＝4ax - y²=0，
即　y² = 4ax.
注意到ABCD为菱形，∴x≠0
故轨迹E的方程为y² = 4ax（x≠0）.
(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°．
证明如下：
(1)当PQ⊥x轴时，P、Q点的坐标为(a，±2a)，又R(一a，0)，
此时∠PRQ=90°，结论成立；
(2)当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k(x一a)，
由得　k²x² - (2ak²+4a)x + k²a² = 0
　　　　　　记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂＝2a+，x₁ x₂=a².
　　　　　　　·＝（x₁+a）（x₂+a）+y₁y₂
=（x₁+a）（x₂+a）+k²（x₁- a）（x₂- a）
=(1+k²) x₁ x₂+(a - ak²)( x₁+x₂)+a²+a²k²
=(1+k²) a² +(a - ak²)( 2a+)+a²+a²k²=>0
即<,>为锐角，
综上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立．
解法二：(Ⅰ)设D(x，y)，由ABCD为菱形且AC、BD的交点在y轴上，
∴C点坐标为(-a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得
，
　　　　　化简得y²=4ax．
　　　　　注意到ABCD为菱形，∴x≠O，
　　　　　故轨迹E的方程为y²=4ax(x≠O)．
(Ⅱ)∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°
　　　　证明如下：
　　　　　　设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），同证法一易知，则x₁ x₂=a².又y₁²=4ax₁，y₂²=4ax₂，且｜PR｜²＝x₁+x₂+2a ，因为
　　　　　　｜PR｜²+｜QR｜²-｜PQ｜²＝（x₁+a）²+y₁²+（x₂+a）²+y₂²-( x₁+x₂+2a)²
=2ax₁+2ax₂-4a²≥2-4a²=4a-4a²=0
　　　　　　从而　cos∠PRQ=≥0，
即∠PRQ≤90°
解法三：(Ⅰ)因为ABCD为菱形，且AC与BD的交点在y轴上，
所以点C的横坐标为 -a，
即点C在直线x = -a上，从而D到C的距离等于D到直线x = -a的距   离．又ABCD为菱形，所以点D到点A的距离与点D到直线x = -a的距离   相等，即轨迹E为抛物线，方程为y²=4ax．
注意到ABCD为菱形，∴x≠O，
故轨迹E的方程为y²=4ax(x≠O)．
(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°
证明如下：
如图，过P、Q向x轴及准线x = -a引垂线，记垂足为M、N、C、H，
则|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|，所以∠PRM≤45°，
同理可证∠QRN≤45°，从而∠PRQ≤90°
解法四：(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ) ∠PRQ不可能为钝角，即∠PRQ≤90°
证明如下：
设P（x₁，y₁），则y₁²=4ax₁，tan∠PRM=|k_PR|=||=，
∵x₁+a≥2，∴tan∠PRA≤1，∠QRA≤45°，
同理可证∠QRA≤45°，即∠PRQ≤90°