Question

2．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，点P（x，y）是椭圆上一点．
（1）求x²+y²的最值
（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用参数法，求x²+y²的最值；
（2）椭圆的内接四边形ABCD面积取最大值时，对角线BD过AC的中点M和原点O；
求出B、D点的坐标，从而求出点B、D到AC的距离，即可求出四边形ABCD的最大面积．

解答 解：（1）设x=5cosα，y=4sinα，
∴x²+y²=25cos²α+16sin²α=9cos²α+16，
∴x²+y²的最大值为25；最小值为16；
（2）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
∴A（5，0），C（0，4）；
由题意知，椭圆的内接四边形ABCD面积取最大值时，对角线BD过AC的中点M和原点O；
∵直线AC的方程是$\frac{x}{5}+\frac{y}{4}$=1，点M（2.5，2），
∴直线BD的方程是y=$\frac{4}{5}$x；
代入椭圆方程，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5\sqrt{2}}{2}}\\{y=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5\sqrt{2}}{2}}\\{y=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴点B（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）到直线AC的距离是d₁=$\frac{|\frac{1}{5}×\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{4}×2\sqrt{2}-1|}{\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{1}{16}}}$=$\frac{20（\sqrt{2}-1）}{\sqrt{41}}$；
同理，点D（-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，-2$\sqrt{2}$）到直线AC的距离是d₂=$\frac{20（\sqrt{2}+1）}{\sqrt{41}}$；
∴四边形ABCD的最大面积为
S=S_△ABC+S_△ADC
=$\frac{1}{2}$×|AC|d₁+$\frac{1}{2}$×|AC|d₂
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$×（$\frac{20（\sqrt{2}-1）}{\sqrt{41}}$+$\frac{20（\sqrt{2}+1）}{\sqrt{41}}$）
=20$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应利用数形结合法，分析解题思路，从而写出解题过程，是综合性题目．