题目内容
20．已知函数f（x）=x+$\frac{k}{x}$，其中k为常数，f（1）=5．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）求证：f（x）在区间（0，2）上是减函数．
分析 （1）由f（1）=5可得k的方程，解方程可得k值，可得解析式；
（2）函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，结合奇函数的定义可判；
（3）任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，作出证明f（x1）-f（x2）＞0，由单调性的定义可判．
解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{k}{x}$，f（1）=5，
∴1+k=5，解得k=4，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x+$\frac{4}{x}$；
（2）∵函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f（-x）=（-x）+$\frac{4}{-x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（3）任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x1+$\frac{4}{{x}_{1}}$）-（x2+$\frac{4}{{x}_{2}}$）
=（x1-x2）+（$\frac{4}{{x}_{1}}$-$\frac{4}{{x}_{2}}$）=（x1-x2）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，∴$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴（x1-x2）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（0，2）上是减函数．
点评 本题考查函数解析式的求解方法，涉及函数的奇偶性和单调性的证明，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
10．设集合M={a，b，c，d}，N={b，d，f}，T={d，e，f}，则（M∩T）∪N是（ ）
| A． | {b，d，e，f} | B． | {d，e，f} | C． | {b，c，d，f} | D． | {b，d，f} |
11．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a≠0），在x=$\frac{π}{4}$处取得最大值，则函数g（x）=f（$\frac{3}{4}$π-x）是（ ）
| A． | 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 | B． | 偶函数且它的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称 | ||
| C． | 奇函数且它的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称 | D． | 奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称 |
