Question

9．若函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{a-|x-4|}}$的定义域为非空集合A，函数g（x）=$\sqrt{2-\frac{x+3}{x+1}}$的定义域为B，若A∩B=A，则a的取值范囤是（0，3]．

Answer 1

分析 求解函数的定义域化简集合A，B，结合A∩B=A，得A⊆B．然后分A=∅和A≠∅求解，当A≠∅时，由两集合端点值间的关系列不等式得答案．

解答 解：由a-|x-4|＞0，得|x-4|＜a，即4-a＜x＜4+a，
∴A=（4-a，4+a），
由$2-\frac{x+3}{x+1}≥0$，得$\frac{x-1}{x+1}≥0$，即x＜-1或x≥1，
∴B=（-∞，-1）∪[1，+∞）．
由A∩B=A，得A⊆B．
∵A为非空集合，∴4-a＜4+a，即a＞0．
当a＞0时，要使A⊆B，则4+a≤-1或4-a≥1，
解得：0＜a≤3．
∴a的取值范围是（0，3]．
故答案为：（0，3]．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了交集及其运算，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．