Question

11．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a≠0），在x=$\frac{π}{4}$处取得最大值，则函数g（x）=f（$\frac{3}{4}$π-x）是（　　）

• A． 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
• B． 偶函数且它的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称
• C． 奇函数且它的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称
• D． 奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称

Answer 1

分析 首先，根据已知得到f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$），从而求解问题．

解答 解：∵f（x）=asinx+bcosx
=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），
在x=$\frac{π}{4}$处取得最大值，
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}（a+b）$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴（a-b）²=0．
∴a=b＞0，
f（x）=asinx+bcosx
=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴g（x）=f（$\frac{3}{4}$π-x）
=$\sqrt{2}a$sin[（$\frac{3π}{4}$-x）+$\frac{π}{4}$]
=$\sqrt{2}a$sin（π-x）
=$\sqrt{2}a$sinx，
∴g（x）=$\sqrt{2}a$sinx
∵g（-x）=$\sqrt{2}a$sin（-x）=-$\sqrt{2}a$sinx=-g（x）
∴g（x）为奇函数，
对称中心为（kπ，0），k∈Z，
故选：D．

点评 本题重点考查了辅助角公式、三角函数的最值、函数的基本性质等知识，属于中档题．