Question

20．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c经过点（-1，0），（3，0），（0，-3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[t，t+1]时，求f（x）的最小值g（t）．

Answer 1

分析 （1）由于已知了抛物线与x的两交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入计算出a即可．
（2）分类讨论，利用对称轴与区间的位置关系，即可求f（x）的最小值g（t）．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为f（x）=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，
所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；
（2）f（x）=（x-1）²-4．
t+1≤1，即t≤0时，f（x）的最小值g（t）=f（t+1）=t²-4；
t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，f（x）的最小值g（t）=f（1）=-4；
t≥1时，f（x）的最小值g（t）=f（t）=（t-1）²-4．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．