Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=t，t为正整数，且a_n+1-a_n+2=0（n∈N^*），记数列{a_n}的前n项之和的最大值为函数f（t），则f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-{t}^{2}+10t}{4}，t为偶数}\\{\frac{-{t}^{2}+4t+1}{2}，t为奇数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 a_n+1-a_n+2=0（n∈N^*），即a_n+1-a_n=-2，利用等差数列的通项公式可得：a_n=-2n+2+t．S_n=-n²+2t+n．由a_n≥0，解得$n≤\frac{2+t}{2}$，对t分类讨论即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n+2=0（n∈N^*），即a_n+1-a_n=-2，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为t为正整数，公差为-2．
∴a_n=t-2（n-1）=-2n+2+t．
S_n=$\frac{n（t-2n+2+t）}{2}$=-n²+2t+n．
由a_n≥0，解得$n≤\frac{2+t}{2}$，
当t为偶数时，n=$\frac{2+t}{2}$或$\frac{t}{2}$时，数列{a_n}的前n项之和的最大值为函数f（t）=$\frac{-{t}^{2}+10t}{4}$；
当t为奇数时，n=$\frac{1+t}{2}$或$\frac{3+t}{2}$时，数列{a_n}的前n项之和的最大值为函数f（t）=$\frac{-{t}^{2}+4t+1}{2}$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-{t}^{2}+10t}{4}，t为偶数}\\{\frac{-{t}^{2}+4t+1}{2}，t为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的单调性、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．