Question

1．在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=-1的距离相等．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=-1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出动点E的坐标为（x，y），然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），联立直线方程和抛物线方程化为关于y的一元二次方程后由判别式等于0得到k与b的关系，求出Q的坐标，求出切点坐标，再设出M的坐标，然后由向量$\overrightarrow{MQ}，\overrightarrow{MP}$的数量积为0证得答案，并求得M的坐标．

解答 （Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），
由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=-1为准线的抛物线，
∴动点E的轨迹C的方程为：y²=4x；
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去x得：ky²-4y+4b=0．
∵直线l与抛物线相切，∴△=16-16kb=0，即$b=\frac{1}{k}$．
∴直线l的方程为y=kx+$\frac{1}{k}$．
令x=-1，得$y=-k+\frac{1}{k}$，
∴Q（-1，$-k+\frac{1}{k}$），
设切点坐标P（x₀，y₀），则$k{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}+\frac{4}{k}=0$，
解得：P（$\frac{1}{{k}^{2}}，\frac{2}{k}$），
设M（m，0），
则$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{MP}=（\frac{1}{{k}^{2}}-m）（-1-m）+\frac{2}{k}（-k+\frac{1}{k}）$
=$-\frac{1}{{k}^{2}}+m-\frac{m}{{k}^{2}}+{m}^{2}+\frac{2}{{k}^{2}}-2$
=$（m-1）（\frac{1}{{k}^{2}}-m-2）$．
当m=1时，$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{MP}=0$．
∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．

点评 本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了利用向量证明线段的垂直问题，是中档题．