Question

12．某电视台组织一科普竞赛，竞赛规则规定：答对第一，二，三个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设甲同学答对第一，二，三个问题的槪率分別为$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{5}$且各题答对与否之问无影响．求：
（Ⅰ）甲同学得300分的槪率；
（Ⅱ）记甲同学竞赛得分为ξ，求ξ的分布列；
（Ⅲ）如果每得100分，即可获得1000元公益基金．依据甲同学得分的平均值预计其所得的得的公益基金数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲同学得300分，有两种情况，利用独立重复试验的概率求解即可．
（Ⅱ）记甲同学竞赛得分为ξ，求出可能情况以及概率，即可得到ξ的分布列；
（Ⅲ）求出甲同学得分的平均值预计即期望，然后求解所得的得的公益基金数．

解答 解：（Ⅰ）P（ξ=300）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{3}{5}=\frac{21}{100}$…（3分）
（Ⅱ）甲同学竞赛得分为ξ，ξ可能情况：0，100，200，300，400．
P（ξ=0）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{5}$=$\frac{1}{50}$，
P（ξ=100）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{2}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{5}$=$\frac{7}{50}$，
P（ξ=200）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{27}{100}$，
P（ξ=300）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{5}+\frac{1}{5}×\frac{3}{4}×\frac{3}{5}=\frac{21}{100}$，
P（ξ=400）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{3}{5}=\frac{9}{25}$．
ξ的分布列如下：…（9分）

ξ	0	100	200	300	400
P	$\frac{1}{50}$	$\frac{7}{50}$	$\frac{27}{100}$	$\frac{21}{100}$	$\frac{9}{25}$

（Ⅲ）由分布列可知E（ξ）=$0×\frac{1}{50}+100×\frac{7}{50}+200×\frac{27}{100}+300×\frac{21}{100}+400×\frac{9}{25}$=275，
所以公益基金数为2750元…（12分）

点评 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，独立重复试验的应用，属于中档题．