题目内容
9．
为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽取30名高中生的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm）；若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3人中“高个子”的人数，试写出ξ的数学期望．
分析 （1）由题意及茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，利用用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$，利用对立事件即可；
（2）依题意，抽取一名学生是“高个子”的概率为$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，从该地所有高中生（人数很多）中选3名，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$）．ξ的取值为0，1，2，3，求出每一个值对应事件的概率，即可求出ξ的数学期望．
解答 解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$，
所以选中的“高个子”有2人，“非高个子”有3人．
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件$\overline{A}$表示“没有一名“高个子”被选中”，
则P（A）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是$\frac{7}{10}$．
（2）依题意，抽取一名学生是“高个子”的概率为$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，从该地所有高中生（人数很多）中选3名，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$）．ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（1-\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{2}{5}•（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}•\frac{3}{5}$=$\frac{36}{125}$，P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{8}{125}$
因此，ξ的分布列如下：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{27}{125}$ | $\frac{54}{125}$ | $\frac{36}{125}$ | $\frac{8}{125}$ |
点评 本题主要考查茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的数据处理能力和应用意识．
名师点睛字词句段篇系列答案
如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥AD于O，AP⊥BC，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．