Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且过点M（1，$\frac{3}{2}$）
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C长轴两端点分别为A、B，点P为椭圆异于A、B的动点，定直线x=4与直线PA、PB分别交于M、N两点，又E（7，0），过E、M、N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（2）设A（-2，0），B（2，0），P（x₀，y₀），由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证．

解答 解：（1）离心率e=$\frac{1}{2}$，即为$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又椭圆过点M（1，$\frac{3}{2}$），
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，又a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（-2，0），B（2，0），P（x₀，y₀），
则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即有y₀²=3（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），
设PA，PB的斜率为k₁，k₂，
则k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$，
设PA：y=k₁（x+2），
则M（4，6k₁），
PB：y=k₂（x-2），则N（4，2k₂），
又k_EM=-$\frac{6{k}_{1}}{3}$=-2k₁，k_EN=-$\frac{2}{3}$k₂，k_EM•k_EN=-1，
设圆过定点F（m，0），则$\frac{6{k}_{1}}{4-m}$•$\frac{2{k}_{2}}{4-m}$=-1，
解得m=1或m=7（舍去），
故过点E，M，N三点的圆是以MN为直径的圆过F（1，0）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查直线的斜率公式的运用，圆的直径所对的圆周角为直角，属于中档题．