题目内容
设函数f(x)＝
x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c.
(1)试问函数f(x)能否在x＝－1时取得极值？说明理由；
(2)若a＝－1，当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围．
（1）无极值（2）－
＜c＜
或c＝－9.
【解析】(1)由题意f′(x)＝x2－2ax－a，
假设在x＝－1时f(x)取得极值，则有f′(－1)＝(－1)2－2a(－1)－a＝0，解得a＝－1.
而此时f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，所以函数f(x)在R上为增函数，函数无极值．
这与f(x)在x＝－1处有极值矛盾，所以f(x)在x＝－1处无极值．
(2)设f(x)＝g(x)，则有
x3－ax2－ax＝2x2＋4x＋c，
所以c＝
x3－x2－3x.
设F(x)＝
x3－x2－3x，则F′(x)＝x2－2x－3，令F′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，F′(x)，F(x)的变化情况如表所示：
x | －3 | (－3，－1) | －1 | (－1,3) | 3 | (3,4) | 4 |
F′(x) |
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
|
F(x) | －9 | ? | 极大值 | ? | 极小值 | ? | － |
由表可知F(x)在[－3，－1]，[3,4]上是增函数，在[－1,3]上是减函数．
当x＝－1时，F(x)取得极大值F(－1)＝；当x＝3时，F(x)取得极小值F(3)＝－9，而F(－3)＝－9，F(4)＝－.
如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(x)与y＝c有两个公共点，所以－＜c＜或c＝－9.
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