Question

12．如图，在斜三棱柱 A BC-A₁ B₁C₁中，侧面 ACC₁ A₁与侧面C B B₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁ B₁=60°，AC=2，AB₁=$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求证：平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求二面角C-A B₁-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：连AC₁，CB₁，取CC₁中点O，连OA，OB₁，证明CC₁⊥OA，OA⊥OB₁，然后证明OA⊥平面BCC₁B₁，推出平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）分别以OB₁，OC₁，OA为正方向建立空间直角坐标系，求出平面CAB₁的法向量，平面A₁AB₁的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角C-AB₁-A₁的余弦函数值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：连AC₁，CB₁，则
△ACC₁和△B₁CC₁皆为正三角形．
取CC₁中点O，连OA，OB₁，则
CC₁⊥OA，且OA=OB₁=$\sqrt{3}$，AB₁=$\sqrt{6}$
由勾股定理可知OA⊥OB₁，∴OA⊥平面BCC₁B₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁…（5分）
（Ⅱ）解：如图所示，分别以OB₁，OC₁，OA为正方向建立空间直角坐标系，
则C（0，-1，0），B₁（$\sqrt{3}$，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），…（6分）
设平面CAB₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），因为$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，-1，-$\sqrt{3}$），
所以$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{x}_{1}+0×{y}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0\\ 0×{x}_{1}-1×{y}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1）．…（8分）
设平面A₁AB₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），因为$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，2，0），
所以，$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{x}_{2}+0×{y}_{2}-\sqrt{3}{z}_{2}=0\\ 0×{x}_{2}+2×{y}_{2}+0×{z}_{2}=0\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）．…（10分）
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，因为二面角C-AB₁-A₁为钝角，
所以二面角C-AB₁-A₁的余弦值为-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查二倍角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．