题目内容
【题目】已知函数 .
(1)若对任意的 ,均有
,求
的取值范围;
(2)若对任意的 ,均有
,求
的取值范围.
【答案】
(1)解: ,
由 ,得
.
,当
时,
,要使
恒成立,只需
,解得
.
当 时,
,要使
恒成立,只需
,矛盾.
综上 的取值范围是
.
(2)解:
,
要使 恒成立,只需
,
则 ,因为
,
,
所以只需 恒成立,则所求的m的取值范围为
.
【解析】(1)利用二倍角公式和两角和差的正弦公式整理已知的代数式得到f(x) 的解析式,结合已知条件给出的取值范围根据正弦型函数的最值情况可得出 f ( x 1) ∈ [ 0 , 2 ],同理可得出当 m ≥ 0 时, g ( x2 ) ∈ [ 2 m + 2 , m + 2 ] ,由已知要满足题意中的恒成立则有0 ≥
m + 2,解出m的取值范围即可。(2)同理结合二倍角的余弦公式整理原函数的代数式得到f(x) 的最简形式,根据题意f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立得到关于cos(x+
)的不等式借助角的取值范围结合余弦函数的最值求出cos(x+
)的取值范围,进而得到要满足 m > 2 [cos(x+
) + 1 ] 恒成立所以m ≥ 3 .
【考点精析】解答此题的关键在于理解二倍角的正弦公式的相关知识,掌握二倍角的正弦公式:,以及对二倍角的余弦公式的理解,了解二倍角的余弦公式:
.

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