Question

8．已知sinα-cosα=$\frac{1}{5}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$），则sinα=$\frac{4}{5}$，cos2α=-$\frac{7}{25}$．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简求出2sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简求出sinα+cosα的值，与已知等式联立求出sinα的值，再利用二倍角的余弦函数公式求出cos2α的值即可．

解答 解：把sinα-cosα=$\frac{1}{5}$①，两边平方得：（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，
即2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，即sinα+cosα=$\frac{7}{5}$②，
①+②得：sinα=$\frac{4}{5}$，
则cos2α=1-2sin²α=-$\frac{7}{25}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$；-$\frac{7}{25}$

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．