已知椭圆C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.其焦距为4.双曲线C2:$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1.C1.C2的离心率互为倒数．(1)求椭圆的标准方程,(2)过椭圆的右顶点作直线交抛物线$\frac{{y}^{2}}{4}$=x于A.B两点.过原点O� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其焦距为4，双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，C₁，C₂的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线$\frac{{y}^{2}}{4}$=x于A，B两点，过原点O与A，B两点的直线分别与椭圆相较于点D，E，证明$\frac{|OD||OE|}{|DE|}$为定值．

分析（1）由离心率为e=2．可求得椭圆得方程．
（2）设直线方程为x=my+4，带入抛物线方程为y²=4x，得y²-4my-16=0．联立，根据条件列式求解即可．

解答解：（1）由${C}_{2}：\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$，其离心率为e=2．
所以$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=2}\end{array}\right.$．故b²=12所以椭圆C₁的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）设过椭圆得右顶点（4，0）得直线方程为x=my+4，带入抛物线方程为y²=4x，得y²-4my-16=0．
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=4m}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-16}\end{array}\right.$
∴x₁x₂+y₁y₂=（my₁+4）（my₂+4）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16=0
∴OA⊥OB
设D（x₃，y₃）、E（x₄，y₄），直线DE的方程为x=ty+λ，代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$得
（3t²+4）y²+6tλy+3λ²-48=0，于是${y}_{3}+{y}_{4}=-\frac{6tλ}{3{t}^{2}+4}，{y}_{3}{y}_{4}=\frac{3{λ}^{2}-48}{3{t}^{2}+4}$
从而${x}_{3}{x}_{4}=（t{y}_{3}+λ）（t{y}_{4}+λ）=\frac{4{λ}^{2}-48{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}$，∵OA⊥OB，∴OD⊥OE，∴x₃x₄+y₃y₄=0，
代入整理得7λ²=48（t²+1），过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，
∴原点到直线DE的距离d=$\frac{|λ|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}=\frac{4\sqrt{21}}{7}$为定值，
∵△DOE为直角三角形，∴$\frac{1}{2}|OD||OE|=\frac{1}{2}|DE|d$，∴$\frac{|OD||OE|}{|DE|}$为定值．